Ejercicios de Física Médica: Domina los Rayos X en Venezuela

1. Energía cinética del electrón — La energía cinética máxima de los electrones acelerados es igual a la carga del electrón multiplicada por la tensión aplicada.
   $$E_{max}=e\cdot V$$
2. Cálculo en electronvoltios — Como la tensión está en kilovoltios, la energía en electronvoltios es numéricamente igual a la tensión en kV.
   $$E_{max,eV}=V=70\text{ kV}=70000\text{ eV}$$
3. Conversión a julios — Para convertir electronvoltios a julios, multiplica por la carga del electrón.
   $$E_{max}=70000\text{ eV}\times 1.602\times {10}^{-19}\text{ J/eV}$$
4. Cálculo final — Realiza la multiplicación para obtener la energía en julios.
   $$E_{max}=1.1214\times {10}^{-14}\text{ J}$$

$$E_{\text{max}}=1.12\times {10}^{-14}\text{ J}\text{ó}70000\text{ eV}$$

→ La energía máxima del fotón es $1.12\times {10}^{-14}$ J o 70 000 eV. La interacción predominante con tejidos blandos es el efecto Compton.

1. Conversión de energía a julios — Convierte la energía de kiloelectronvoltios a julios multiplicando por ${10}^3$ y por la carga del electrón.
   $$E=60\times {10}^3\text{ eV}\times 1.602\times {10}^{-19}\text{ J/eV}=9.612\times {10}^{-15}\text{ J}$$
2. Despeje de la longitud de onda — Despeja $\lambda$ de la ecuación de Planck-Einstein.
   $$\lambda =\frac{h\cdot c}{E}$$
3. Sustitución de valores — Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
   $$\lambda =\frac{6.626\times {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}\times 3.00\times {10}^8\text{ m/s}}{9.612\times {10}^{-15}\text{ J}}$$
4. Cálculo final — Realiza la operación y convierte el resultado a nanómetros.
   $$\lambda =2.07\times {10}^{-11}\text{ m}=0.0207\text{ nm}$$

$$\lambda =0.0207\text{ nm}$$

→ La longitud de onda es 0.0207 nm. Para comparación, la luz visible tiene longitudes de onda entre 400 nm (violeta) y 700 nm (rojo), por lo que los rayos X son millones de veces más cortos.

1. Cálculo del exponente — Calcula el producto $\mu x$ para determinar el exponente en la ley de atenuación.
   $$\mu x=0.15{\text{ cm}}^{-1}\times 20\text{ cm}=3$$
2. Aplicación de la ley de atenuación — Sustituye los valores en la fórmula $I=I_0{e}^{-\mu x}$.
   $$I=100{\text{ mW/cm}}^2\times e^{-3}$$
3. Cálculo de la intensidad transmitida — Usa una calculadora para evaluar $e^{-3}$ y multiplica por la intensidad inicial.
   $$I=100\times 0.0498=4.98{\text{ mW/cm}}^2$$
4. Cálculo del porcentaje perdido — Resta la intensidad transmitida de la inicial y calcula el porcentaje.
   $$P_{\text{perdida}}=(1-\frac{4.98}{100})\times 100\%=95.02\%$$

$$I=4.98{\text{ mW/cm}}^2\text{y}{P}_{\text{perdida}}=95.02\%$$

→ La intensidad transmitida es 4.98 mW/cm² y se pierde el 95.02% de la intensidad inicial.

1. Cálculo del volumen irradiado — El volumen se calcula multiplicando el área por el espesor típico de un abdomen en radiografía (aproximadamente 20 cm).
   $$V=A\times \text{espesor}=400{\text{ cm}}^2\times 20\text{ cm}=8000{\text{ cm}}^3$$
2. Cálculo de la masa — Usa la densidad del tejido blando para convertir volumen a masa.
   $$m=\rho \times V=1{\text{ g/cm}}^3\times 8000{\text{ cm}}^3=8000\text{ g}=8\text{ kg}$$
3. Cálculo de la dosis absorbida — La dosis absorbida es la energía depositada dividida por la masa del tejido.
   $$D_{\text{promedio}}=\frac{E}{m}=\frac{0.01\text{ J}}{8\text{ kg}}=0.00125\text{ Gy}=1.25\text{ mGy}$$

$$D_{\text{promedio}}=1.25\text{ mGy}$$

→ La dosis absorbida promedio en el tejido irradiado es 1.25 mGy.

1. Intensidad transmitida a través del hueso — Aplica la ley de atenuación para el hueso.
   $$I_{\text{hueso}}=I_0{e}^{-{\mu }_{\text{hueso}}{x}_{\text{hueso}}}=I_0{e}^{-0.5\times 1.5}=I_0{e}^{-0.75}$$
2. Intensidad transmitida a través del tejido — Asume que el espesor del tejido es el mismo que el del hueso para comparación (simplificación).
   $$I_{\text{tejido}}=I_0{e}^{-{\mu }_{\text{tejido}}{x}_{\text{hueso}}}=I_0{e}^{-0.18\times 1.5}=I_0{e}^{-0.27}$$
3. Cálculo del contraste — Usa la fórmula del contraste relativo.
   $$C=\frac{I_{\text{tejido}}-I_{\text{hueso}}}{I_{\text{tejido}}}=1-\frac{I_{\text{hueso}}}{I_{\text{tejido}}}=1-e^{-0.75+0.27}=1-e^{-0.48}$$
4. Resultado numérico — Calcula el valor numérico del contraste.
   $$C=1-0.6188=0.3812$$

$$C=0.381(38.1\%)$$

→ El contraste relativo entre el hueso y el tejido blando es 0.381 o 38.1%.

1. Cálculo del número máximo de radiografías — Divide el límite de dosis anual entre la dosis por radiografía.
   $$N_{\text{radiografías}}=\frac{D_{\text{límite}}}{D_{\text{radiografía}}}=\frac{20\text{ mSv}}{0.2\text{ mSv/radiografía}}=100\text{ radiografías}$$
2. Cálculo del tiempo total en segundos — Multiplica el número de radiografías por el tiempo por radiografía.
   $$T_{\text{total, segundos}}=100\times 0.1\text{ s}=10\text{ s}$$
3. Conversión a horas — Convierte los segundos a horas para expresar el tiempo en una unidad más comprensible.
   $$T_{\text{total}}=\frac{10\text{ s}}{3600\text{ s/h}}=0.00278\text{ h}$$

$$N=100\text{ radiografías}\text{y}T=0.00278\text{ h}$$

→ El técnico puede realizar hasta 100 radiografías al año sin exceder el límite de dosis. El tiempo total de exposición es 0.00278 horas (aproximadamente 10 segundos al año).

1. Dosis total anual con radiografías — Multiplica la dosis por radiografía por el número de estudios.
   $$D_{\text{total,radiografía}}=1.5\text{ mGy}\times 4=6\text{ mGy}$$
2. Dosis total anual con TC — Multiplica la dosis por TC por el número de estudios.
   $$D_{\text{total,TC}}=10\text{ mGy}\times 4=40\text{ mGy}$$
3. Cálculo de equivalencia — Divide la dosis de una TC entre la dosis de una radiografía para encontrar cuántas radiografías equivalen a una TC.
   $$N_{\text{equivalente}}=\frac{D_{\text{TC}}}{D_{\text{radiografía}}}=\frac{10}{1.5}=6.67$$

$$D_{\text{total,radiografía}}=6\text{ mGy}\text{y}{D}_{\text{total,TC}}=40\text{ mGy}\text{y}{N}_{\text{equivalente}}=6.67$$

→ La dosis total anual con radiografías convencionales es 6 mGy, mientras que con TC es 40 mGy. Una tomografía equivale aproximadamente a 6.67 radiografías convencionales en términos de dosis.

1. Conversión de unidades — Convierte la corriente de miliamperios a amperios y la tensión de kilovoltios a voltios.
   $$I=500\text{ mA}=0.5\text{ A}\text{y}V=80\text{ kV}=80000\text{ V}$$
2. Cálculo de la energía total — Multiplica la tensión, la corriente y el tiempo para obtener la energía total.
   $$E_{\text{total}}=V\cdot I\cdot t=80000\text{ V}\times 0.5\text{ A}\times 0.2\text{ s}=8000\text{ J}$$
3. Cálculo de la energía de rayos X — Multiplica la energía total por la eficiencia de conversión.
   $$E_{\text{X}}=E_{\text{total}}\times \eta =8000\text{ J}\times 0.01=80\text{ J}$$

$$E_{\text{total}}=8000\text{ J}\text{y}{E}_{\text{X}}=80\text{ J}$$

→ La energía total producida por el tubo es 8 000 J, y la energía de rayos X útiles producidos es 80 J.

1. Cálculo de la dosis después del cambio — Reduce la dosis inicial en un 15% para obtener la nueva dosis.
   $$D_2=D_1\times (1-0.15)=2.0\text{ mGy}\times 0.85=1.7\text{ mGy}$$
2. Cálculo del contraste después del cambio — Reduce el contraste inicial en un 10% para obtener el nuevo contraste.
   $$C_2=C_1\times (1-0.10)=0.45\times 0.90=0.405$$
3. Evaluación del beneficio — Analiza si la reducción de dosis compensa la pérdida de contraste en el contexto de la mamografía.
   $$\text{Beneficio}=\text{Reducción de dosis}-\text{Pérdida de contraste}=15\%-10\%=5\%\text{(beneficio neto)}$$

$$D_2=1.7\text{ mGy}\text{y}{C}_2=0.405\text{y}\text{Beneficio neto}=5\%$$

→ Después del cambio, la dosis es 1.7 mGy y el contraste es 0.405. El cambio resulta en un beneficio neto del 5%, aunque la pérdida de contraste debe ser evaluada cuidadosamente por el radiólogo.