Física del láser: ejercicios para dominar la luz coherente en

1. Datos — Tenemos la velocidad de la luz $c$ y la longitud de onda $\lambda$ del láser. La velocidad de la luz es una constante universal.
2. Relación fundamental — La ecuación que relaciona estas magnitudes es $c=\lambda f$, donde $f$ es la frecuencia que buscamos.
   $$c=\lambda f$$
3. Despeje de la frecuencia — Despejamos $f$ dividiendo ambos lados de la ecuación por $\lambda$.
   $$f=\frac{c}{\lambda }$$
4. Sustitución de valores — Sustituimos los valores conocidos en la ecuación. Asegúrate de convertir la longitud de onda de nanómetros a metros.
   $$f=\frac{3\times {10}^8\text{ m/s}}{632.8\times {10}^{-9}\text{ m}}$$
5. Cálculo final — Realiza la división para obtener el valor numérico de la frecuencia. Usa una calculadora si es necesario.
   $$f=4.74\times {10}^{14}\text{ Hz}$$

$$f=4.74\times {10}^{14}\text{ Hz}$$

→ La frecuencia del láser de He-Ne es aproximadamente $4.74\times {10}^{14}$ Hz.

1. Cálculo de la frecuencia — Usamos la relación $c=\lambda f$ para encontrar la frecuencia del láser.
   $$f=\frac{c}{\lambda }$$
2. Energía del fotón — Ahora aplicamos la fórmula de energía de Planck-Einstein $E=hf$.
   $$E=hf$$
3. Sustitución combinada — Sustituimos la expresión de $f$ en la fórmula de energía para obtener una sola ecuación.
   $$E=\frac{hc}{\lambda }$$
4. Cálculo numérico — Sustituimos los valores numéricos y realizamos el cálculo.
   $$E=\frac{(6.626\times {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s})\times (3\times {10}^8\text{ m/s})}{808\times {10}^{-9}\text{ m}}$$
5. Resultado final — Calcula el valor numérico final de la energía.
   $$E=2.46\times {10}^{-19}\text{ J}$$

$$E=2.46\times {10}^{-19}\text{ J}$$

→ La energía de cada fotón del láser de diodo es aproximadamente $2.46\times {10}^{-19}$ J.

1. Relación potencia-energía — La potencia $P$ está relacionada con la energía $E$ y el tiempo $t$ mediante la fórmula $P=\frac{E}{t}$.
   $$P=\frac{E}{t}$$
2. Despeje de la energía — Despejamos la energía $E$ multiplicando ambos lados de la ecuación por $t$.
   $$E=Pt$$
3. Sustitución de valores — Sustituimos los valores de potencia y tiempo en la ecuación. El tiempo debe estar en segundos.
   $$E=10000\text{ W}\times 180\text{ s}$$
4. Cálculo final — Realiza la multiplicación para obtener el valor numérico de la energía.
   $$E=1.8\times {10}^6\text{ J}$$

$$E=1.8\times {10}^6\text{ J}$$

→ La energía transferida al material es $1.8\times {10}^6$ J.

1. Fórmula de divergencia — El ángulo de divergencia de un haz láser se calcula usando la fórmula $\theta =1.22\frac{\lambda }{D}$.
   $$\theta =1.22\frac{\lambda }{D}$$
2. Sustitución de valores — Sustituimos los valores de longitud de onda y diámetro en la fórmula.
   $$\theta =1.22\times \frac{1550\times {10}^{-9}\text{ m}}{1\times {10}^{-3}\text{ m}}$$
3. Cálculo del ángulo — Realizamos la división y multiplicación para obtener el valor numérico del ángulo.
   $$\theta =1.911\times {10}^{-3}\text{ rad}$$

$$\theta =1.91\times {10}^{-3}\text{ rad}$$

→ El ángulo de divergencia del haz láser es aproximadamente $1.91\times {10}^{-3}$ radianes.

1. Ley de Snell en reflexión total — Para la reflexión total interna, la ley de Snell se escribe como $n_1\sin {\theta }_c=n_2\sin 90°$. Como $\sin 90°=1$, obtenemos $\sin {\theta }_c=\frac{n_2}{n_1}$.
   $$n_1\sin {\theta }_c=n_2$$
2. Despeje del ángulo crítico — Despejamos ${\theta }_c$ aplicando el arco seno a ambos lados de la ecuación.
   $${\theta }_c=\arcsin \left(\frac{n_2}{n_1}\right)$$
3. Sustitución de valores — Sustituimos los valores de los índices de refracción en la ecuación.
   $${\theta }_c=\arcsin \left(\frac{1.44}{1.46}\right)$$
4. Cálculo final — Calculamos el valor numérico del ángulo crítico en grados.
   $${\theta }_c=80.54°$$

$${\theta }_c=80.54°$$

→ El ángulo crítico para la reflexión total interna en la fibra óptica es aproximadamente $80.5°$.

1. Distribución de Boltzmann — En equilibrio térmico, la relación entre las poblaciones de dos niveles de energía está dada por la distribución de Boltzmann: $N_2/N_1=\exp (-\frac{E_2-E_1}{k_{B}T})$.
   $$\frac{N_2}{N_1}=\exp (-\frac{E_2-E_1}{k_{B}T})$$
2. Análisis del exponente — Como $E_2>E_1$ (el nivel superior tiene más energía), el exponente $-\frac{E_2-E_1}{k_{B}T}$ es negativo. Por lo tanto, $\exp (\text{negativo})<1$, lo que implica que $N_2<N_1$.
3. Condición para el láser — Para que el láser funcione, se necesita una inversión de población, es decir, $N_2>N_1$. Esto no ocurre en equilibrio térmico y requiere un bombeo óptico o eléctrico externo.
4. Ejemplo numérico — Supongamos que $E_2-E_1=2\text{ eV}=3.2\times {10}^{-19}\text{ J}$. Calculamos la relación de poblaciones:
   $$\frac{N_2}{N_1}=\exp (-\frac{3.2\times {10}^{-19}}{1.38\times {10}^{-23}\times 300})=1.5\times {10}^{-34}$$

→ En equilibrio térmico, la población del nivel superior es mucho menor que la del nivel inferior ($N_2/N_1\approx 1.5\times {10}^{-34}$ para $E_2-E_1=2\text{ eV}$), por lo que se requiere bombeo externo para lograr la inversión de población necesaria en un láser.

1. Costo de depreciación diario — El costo diario de depreciación se calcula dividiendo el costo total del equipo entre el número total de días de vida útil.
   $$C_{\text{depreciación}}=\frac{C_{\text{equipo}}}{t_{\text{vida}}}$$
2. Costo de energía diario — El costo diario de energía se calcula multiplicando el consumo eléctrico por hora, las horas de operación diarias y la tarifa eléctrica.
   $$C_{\text{energía}}=E_{\text{consumo}}\times 8\text{ h}\times \text{tarifa}$$
3. Costo total diario — El costo total diario es la suma del costo de depreciación y el costo de energía.
   $$C_{\text{diario}}=C_{\text{depreciación}}+C_{\text{energía}}$$
4. Sustitución de valores — Sustituimos los valores numéricos en las ecuaciones.
   $$C_{\text{depreciación}}=\frac{3500000\text{ VES}}{1460\text{ días}}=2397.26\text{ VES/día}$$
5. Cálculo final — Realizamos el cálculo del costo de energía y luego sumamos ambos componentes.
   $$C_{\text{energía}}=8\text{ kW}\cdot \text{h}\times 8\text{ h}\times 0.45\text{ VES/kW}\cdot \text{h}=28.8\text{ VES/día}$$
6. Resultado — Sumamos ambos costos para obtener el costo diario total.
   $$C_{\text{diario}}=2397.26+28.8=2426.06\text{ VES/día}$$

$$C_{\text{diario}}=2426\text{ VES}$$

→ El costo diario total de operación del láser es aproximadamente 2426 VES.

1. Comparación directa — La norma IEC 60825-1 establece que la potencia máxima segura para exposición directa es de 0.25 mW.
2. Análisis de la potencia — El láser en uso tiene una potencia de 5 mW, que es 20 veces mayor que el límite seguro de 0.25 mW.
3. Conclusión — Como $5\text{ mW}>0.25\text{ mW}$, el láser NO cumple con la norma IEC 60825-1 y representa un riesgo para la seguridad ocular de las personas.

→ El láser de 5 mW NO cumple con la norma IEC 60825-1, ya que su potencia supera en 20 veces el límite seguro de 0.25 mW.

1. Fórmula de longitud de coherencia — La longitud de coherencia de un láser se calcula usando la fórmula $L_c=\frac{{\lambda }^2}{\mathrm{\Delta }\lambda }$.
   $$L_c=\frac{{\lambda }^2}{\mathrm{\Delta }\lambda }$$
2. Sustitución de valores — Sustituimos los valores de la longitud de onda central y la anchura espectral en la fórmula.
   $$L_c=\frac{{(632.8\times {10}^{-9}\text{ m})}^2}{0.001\times {10}^{-9}\text{ m}}$$
3. Cálculo final — Realizamos el cálculo para obtener la longitud de coherencia en metros.
   $$L_c=0.4005\text{ m}$$

$$L_c=0.40\text{ m}$$

→ La longitud de coherencia del láser de He-Ne es aproximadamente 0.40 metros.