¿Por qué el hielo flota en Venezuela? Ejercicios de flotabilidad

1. Datos — Tenemos la masa del hielo y su volumen. Necesitamos calcular su densidad y compararla con la del agua.
2. Cálculo de densidad — Primero convertimos las unidades a sistema internacional: masa en kg y volumen en m³.
   $$m=200\text{ g}=0.200\text{ kg}V=220{\text{ cm}}^3=220\times {10}^{-6}{\text{ m}}^3=2.2\times {10}^{-4}{\text{ m}}^3$$
3. Aplicación de la fórmula — Ahora aplicamos la fórmula de densidad.
   $${\rho }_{\text{hielo}}=\frac{m}{V}=\frac{0.200}{2.2\times {10}^{-4}}{\text{ kg/m}}^3$$
4. Resultado y comparación — Calculamos el valor numérico y comparamos con la densidad del agua.
   $${\rho }_{\text{hielo}}\approx 909{\text{ kg/m}}^3<{\rho }_{\text{agua}}=1000{\text{ kg/m}}^3$$

$${\rho }_{\text{hielo}}\approx 909{\text{kg/m}}^3$$

→ La densidad del hielo es aproximadamente 909 kg/m³, por lo que el cubo flota en el agua.

1. Cálculo de densidad de la madera — La densidad de la plataforma es masa sobre volumen.
   $${\rho }_{\text{madera}}=\frac{m_{\text{plataforma}}}{V_{\text{plataforma}}}=\frac{50}{0.15}{\text{ kg/m}}^3$$
2. Comparación con el agua — Comparamos la densidad de la madera con la del agua del lago.
   $${\rho }_{\text{madera}}=333.33{\text{kg/m}}^3<{\rho }_{\text{agua lago}}=998{\text{kg/m}}^3$$
3. Conclusión de flotabilidad — Como la densidad de la madera es menor, la plataforma flota incluso sin carga adicional.

$${\rho }_{\text{madera}}=333{\text{kg/m}}^3$$

→ La plataforma de madera flota porque su densidad (333 kg/m³) es menor que la del agua del lago de Maracaibo (998 kg/m³).

1. Equilibrio de fuerzas — En flotación, el peso del iceberg es igual al empuje del agua desplazada.
   $$P_{\text{hielo}}=E_{\text{agua}}{m}_{\text{hielo}}\cdot g=m_{\text{agua desplazada}}\cdot g$$
2. Simplificación — Podemos cancelar g y expresar las masas en términos de densidades y volúmenes.
   $${\rho }_{\text{hielo}}\cdot V_{\text{total}}={\rho }_{\text{agua río}}\cdot V_{\text{sumergido}}$$
3. Despeje del volumen sumergido — Despejamos $V_{s}umergido$ de la ecuación.
   $$V_{\text{sumergido}}=\frac{{\rho }_{\text{hielo}}\cdot V_{\text{total}}}{{\rho }_{\text{agua río}}}=\frac{917\times 10}{997}$$
4. Cálculo final — Realizamos la operación para obtener el valor numérico.
   $$V_{\text{sumergido}}\approx 9.20{\text{m}}^3$$

$$V_{\text{sumergido}}\approx 9.20{\text{m}}^3$$

→ El volumen sumergido del iceberg es aproximadamente 9.20 m³, lo que significa que solo el 8% de su volumen queda por encima del agua.

1. Densidad del bloque de hielo — Calculamos la densidad de un bloque para verificar que flota.
   $${\rho }_{\text{hielo}}=\frac{m_{\text{bloque}}}{V_{\text{bloque}}}=\frac{15}{0.0165}{\text{ kg/m}}^3$$
2. Cálculo de densidad — Obtenemos el valor numérico.
   $${\rho }_{\text{hielo}}=909{\text{kg/m}}^3<1000{\text{kg/m}}^3$$
3. Carga máxima en bloques — Dividimos la carga máxima del camión entre la masa de un bloque para obtener el número máximo.
   $$n_{\text{bloques}}=\frac{m_{\text{max}}}{m_{\text{bloque}}}=\frac{2000}{15}$$
4. Resultado entero — Tomamos la parte entera del resultado ya que no podemos transportar fracciones de bloque.
   $$n_{\text{bloques}}=133$$

$$n=133\text{bloques}$$

→ Pedro puede transportar hasta 133 bloques de hielo sin exceder la capacidad del camión.

1. Cálculo de densidad de la caja — Aplicamos la fórmula de densidad.
   $${\rho }_{\text{caja}}=\frac{m_{\text{caja}}}{V_{\text{caja}}}=\frac{80}{0.02}{\text{ kg/m}}^3$$
2. Comparación con el agua — Vemos si la densidad de la caja es mayor que la del agua del río Caroní.
   $${\rho }_{\text{caja}}=4000{\text{kg/m}}^3>{\rho }_{\text{agua Caroní}}=995{\text{kg/m}}^3$$
3. Cálculo de la fuerza de empuje — La fuerza de empuje es igual al peso del agua desplazada por el volumen de la caja.
   $$E={\rho }_{\text{agua Caroní}}\cdot V_{\text{caja}}\cdot g=995\times 0.02\times 9.81$$
4. Cálculo numérico del empuje — Realizamos la multiplicación.
   $$E\approx 195.21\text{N}$$
5. Cálculo del peso — El peso de la caja es masa por gravedad.
   $$P=m_{\text{caja}}\cdot g=80\times 9.81$$
6. Cálculo numérico del peso — Realizamos la multiplicación.
   $$P=784.8\text{N}$$
7. Fuerza neta — La fuerza neta es el peso menos el empuje (ambas fuerzas están en direcciones opuestas).
   $$F_{\text{neto}}=P-E=784.8-195.21$$

$$F_{\text{neto}}\approx 589.6\text{N}\text{(hacia abajo)}$$

→ La caja de metal tiene una densidad de 4000 kg/m³, mucho mayor que la del agua del río Caroní (995 kg/m³), por lo que se hunde. La fuerza neta sobre ella es de aproximadamente 589.6 N hacia abajo.

1. Masa total — Suma la masa de la piragua y la carga.
   $$m_{\text{total}}=m_{\text{piragua}}+m_{\text{carga}}=40+60=100\text{kg}$$
2. Peso total — Calcula el peso total usando la masa y la gravedad.
   $$P_{\text{total}}=m_{\text{total}}\cdot g=100\times 9.81$$
3. Equilibrio: empuje = peso — En flotación, el empuje del agua desplazada iguala al peso total.
   $$E=P_{\text{total}}{\rho }_{\text{agua lago Valencia}}\cdot V_{\text{sumergido}}\cdot g=m_{\text{total}}\cdot g$$
4. Simplificación — Cancelamos g y despejamos $V_{s}umergido$.
   $$V_{\text{sumergido}}=\frac{m_{\text{total}}}{{\rho }_{\text{agua lago Valencia}}}=\frac{100}{996}$$
5. Cálculo final — Realizamos la división para obtener el volumen sumergido.
   $$V_{\text{sumergido}}\approx 0.1004{\text{m}}^3$$

$$V_{\text{sumergido}}\approx 0.1004{\text{m}}^3$$

→ Con la carga de pescado, el volumen sumergido de la piragua es aproximadamente 0.1004 m³, es decir, la mitad de su volumen total queda bajo el agua.

1. Volumen sumergido inicial — Sin la moneda, el empuje iguala al peso del hielo.
   $$E_{\text{inicial}}=P_{\text{hielo}}{\rho }_{\text{agua}}\cdot V_{\text{sumergido inicial}}\cdot g=m_{\text{hielo}}\cdot g$$
2. Cálculo inicial — Despejamos $V_{s}umergido$_inicial y calculamos.
   $$V_{\text{sumergido inicial}}=\frac{m_{\text{hielo}}}{{\rho }_{\text{agua}}}=\frac{91.7\text{g}}{1{\text{g/cm}}^3}=91.7{\text{cm}}^3$$
3. Nuevo peso total — Suma la masa de la moneda al peso del hielo.
   $$m_{\text{total}}=m_{\text{hielo}}+m_{\text{moneda}}=91.7+5=96.7\text{g}$$
4. Nuevo equilibrio — El nuevo empuje debe igualar al nuevo peso total.
   $$E_{\text{final}}=P_{\text{total}}{\rho }_{\text{agua}}\cdot V_{\text{sumergido final}}\cdot g=m_{\text{total}}\cdot g$$
5. Despeje del nuevo volumen sumergido — Despejamos $V_{s}umergido$_final.
   $$V_{\text{sumergido final}}=\frac{m_{\text{total}}}{{\rho }_{\text{agua}}}=\frac{96.7}{1}=96.7{\text{cm}}^3$$
6. Incremento del volumen sumergido — Calculamos cuánto aumentó el volumen sumergido.
   $$\mathrm{\Delta }V=V_{\text{sumergido final}}-V_{\text{sumergido inicial}}=96.7-91.7$$

$$V_{\text{sumergido final}}=96.7{\text{cm}}^3$$

→ Inicialmente el hielo sumergía 91.7 cm³. Con la moneda de 5 g, el nuevo volumen sumergido es 96.7 cm³, es decir, el hielo se hunde 5 cm³ más.

1. Ecuación de equilibrio — En flotación, el peso del hielo iguala al empuje del agua desplazada.
   $$P_{\text{hielo}}=E_{\text{agua}}{m}_{\text{hielo}}\cdot g=m_{\text{agua desplazada}}\cdot g$$
2. Expresión de masas — Expresamos las masas en términos de densidades y volúmenes.
   $${\rho }_{\text{hielo}}\cdot V_{\text{hielo}}\cdot g={\rho }_{\text{agua}}\cdot V_{\text{sumergido}}\cdot g$$
3. Simplificación — Cancelamos g y despejamos la fracción sumergida ($V_{s}umergido$ / $V_{h}ielo$).
   $$f=\frac{V_{\text{sumergido}}}{V_{\text{hielo}}}=\frac{{\rho }_{\text{hielo}}}{{\rho }_{\text{agua}}}$$
4. Sustitución de valores — Sustituimos las densidades conocidas.
   $$f=\frac{917}{1000}=0.917$$
5. Interpretación — Esto significa que el 91.7% del volumen del hielo queda sumergido, mientras que solo el 8.3% queda por encima del agua.

$$f=0.917$$

→ La fracción sumergida del hielo es 0.917 (91.7%), lo que demuestra que flota porque su densidad es menor que la del agua. Solo el 8.3% de su volumen queda por encima de la superficie.

1. Masa total del barco — Suma la masa del barco vacío y la masa del agua dentro.
   $$m_{\text{total}}=m_{\text{barco}}+m_{\text{agua interior}}=500+(1025\times 1)$$
2. Cálculo de masa total — Realizamos la multiplicación y suma.
   $$m_{\text{total}}=500+1025=1525\text{kg}$$
3. Peso total — Calcula el peso total usando la masa y la gravedad.
   $$P_{\text{total}}=m_{\text{total}}\cdot g=1525\times 9.81$$
4. Cálculo del peso total — Realizamos la multiplicación.
   $$P_{\text{total}}\approx 14960.25\text{N}$$
5. Empuje máximo posible — El empuje máximo ocurre cuando el barco está completamente sumergido, desplazando un volumen igual a su volumen total.
   $$E_{\text{max}}={\rho }_{\text{agua mar}}\cdot V_{\text{barco}}\cdot g=1025\times 2\times 9.81$$
6. Cálculo del empuje máximo — Realizamos la multiplicación.
   $$E_{\text{max}}\approx 20110.5\text{N}$$
7. Comparación peso-empuje — Si el peso total es menor que el empuje máximo, el barco flota. De lo contrario, se hunde.
   $$P_{\text{total}}=14960.25\text{N}<E_{\text{max}}=20110.5\text{N}$$

$$\text{El barco flota}$$

→ El barco de aluminio con 1 m³ de agua dentro tiene una masa total de 1525 kg. Su peso (14960 N) es menor que el empuje máximo posible (20110 N), por lo que flota en el mar Caribe frente a La Guaira.