Superconductividad: La magia de la electricidad sin resistencia

1. Conversión de unidades — Para convertir de Kelvin a Celsius, restamos 273.15 al valor en Kelvin. Esto se debe a que el cero absoluto (0 K) equivale a -273.15 °C.
   $$T_c(°C)=T_c(K)-273.15$$
2. Cálculo numérico — Sustituimos el valor de la temperatura crítica del mercurio en la fórmula de conversión.
   $$T_c(°C)=4.2-273.15$$
3. Resultado final — El cálculo arroja el valor en grados Celsius donde el mercurio deja de ser superconductor.
   $$T_c(°C)=-268.95$$

$$-268.95\text{°C}$$

→ La superconductividad del mercurio desaparece a -268.95 °C

1. Fuerza gravitatoria — Calculamos primero el peso del tren, que debe ser contrarrestado por la fuerza magnética.
   $$F_g=m\cdot g$$
2. Presión magnética — La presión magnética generada por el superconductor depende de la densidad de corriente superficial al cuadrado.
   $$P=\frac{1}{2}{\mu }_0{J}_s^2$$
3. Equilibrio de fuerzas — Igualamos la fuerza gravitatoria con la fuerza magnética. Para simplificar, asumimos que el área de levitación es suficiente para que la presión actúe uniformemente.
   $$F_g=P\cdot A\Rightarrow mg=\frac{1}{2}{\mu }_0{J}_s^{2}A$$
4. Densidad de corriente — Despejamos $J_s$ de la ecuación anterior. Como el área se cancela en ambos lados, obtenemos una expresión directa.
   $$J_s=\sqrt{\frac{2mg}{{\mu }_{0}A}}$$
5. Resultado numérico — Sustituyendo los valores conocidos obtenemos la densidad de corriente necesaria.
   $$J_s=\sqrt{\frac{2\times 80000\times 9.81}{4\pi \times {10}^{-7}}}\approx 3.55\times {10}^6\text{A/m}$$

$$3.55\times {10}^6\text{A/m}$$

→ Se necesita una densidad de corriente superficial mínima de aproximadamente 3.55 millones de amperios por metro

1. Inductancia del anillo — Calculamos la inductancia aproximada de un anillo circular de radio r con sección A.
   $$L={\mu }_{0}r(\ln \left(\frac{8r}{a}\right)-2)$$
2. Radio del anillo — Asumimos un radio típico para un anillo de laboratorio de 0.5 m.
   $$r=\frac{L}{2\pi }=\frac{0.5}{2\pi }\approx 0.0796\text{m}$$
3. Cálculo de inductancia — Sustituimos los valores en la fórmula de inductancia.
   $$L=4\pi \times {10}^{-7}\times 0.0796(\ln \left(\frac{8\times 0.0796}{0.001}\right)-2)\approx 1.57\times {10}^{-7}\text{H}$$
4. Energía inicial — Calculamos la energía almacenada en el campo magnético del anillo.
   $$E=\frac{1}{2}L{I}_0^2=\frac{1}{2}\times 1.57\times {10}^{-7}\times {10}^2=7.85\times {10}^{-6}\text{J}$$
5. Potencia disipada — Si el anillo tuviera resistencia normal, la potencia disipada sería $P=I^{2}R$.
   $$R=\frac{\rho L}{A}=\frac{2.82\times {10}^{-8}\times 0.5}{1\times {10}^{-6}}=0.0141\text{Ω}$$
6. Tiempo de decaimiento — El tiempo característico es $t=\frac{E}{P}=\frac{E}{I^{2}R}$. Como la corriente es constante en primera aproximación, usamos este valor.
   $$t=\frac{7.85\times {10}^{-6}}{{(10)}^2\times 0.0141}=5.57\times {10}^{-5}\text{s}$$
7. Tiempo en años — Convertimos el tiempo a años para darle perspectiva al resultado.
   $$t=5.57\times {10}^{-5}\text{s}\times \frac{1\text{año}}{3.15\times {10}^7\text{s}}\approx 1.77\times {10}^{-12}\text{años}$$

$$1.77\times {10}^{-12}\text{años}$$

→ La corriente podría circular durante aproximadamente 1.77 × 10⁻¹² años (prácticamente indefinidamente)

1. Potencia disipada en cobre — La potencia perdida por efecto Joule en el cable de cobre es proporcional al cuadrado de la corriente y a la resistencia.
   $$P=I^2{R}_{Cu}$$
2. Cálculo numérico de potencia — Sustituimos los valores dados para obtener la potencia instantánea disipada.
   $$P={(500)}^2\times 0.15=37500\text{W}=37.5\text{kW}$$
3. Energía diaria disipada — Multiplicamos la potencia por las horas de operación diarias para obtener la energía perdida por día.
   $$E_{diaria}=P\times t_{diaria}=37.5\text{kW}\times 24\text{h}=900\text{kWh}$$
4. Energía mensual disipada — Extendemos el cálculo a 30 días para obtener el consumo mensual.
   $$E_{mensual}=E_{diaria}\times 30=900\text{kWh}\times 30=27000\text{kWh}$$
5. Costo de la energía perdida — Multiplicamos la energía mensual por el costo por kWh para obtener el gasto en bolívares.
   $$Costo=E_{mensual}\times {\text{costo}}_{kWh}=27000\text{kWh}\times 0.5\text{VES/kWh}=13500\text{VES}$$
6. Ahorro con superconductor — Como el superconductor no disipa energía, el ahorro mensual equivale al costo calculado.
   $$Ahorr{o}_{mensual}=13500\text{VES}$$

$$13500\text{VES}$$

→ El ahorro mensual sería de 13 500 bolívares

1. Análisis de temperaturas — El Nb-Ti necesita operar a 9.2 K, lo que requiere refrigeración con helio líquido (costoso). El YBCO puede operar a 77 K con nitrógeno líquido (mucho más barato).
2. Costo de refrigeración — Aunque el YBCO tiene un costo de material 4 veces mayor, el costo de refrigeración del Nb-Ti es significativamente más alto debido a la necesidad de helio líquido.
3. Conclusión práctica — En aplicaciones prácticas, el YBCO es generalmente más económico a temperaturas de 77 K o superiores, a pesar de su mayor costo de material, debido al bajo costo del nitrógeno líquido como refrigerante.

→ El YBCO es el material más económico para operar a 77 K, a pesar de su mayor costo de material

1. Cálculo de corriente — La corriente se calcula a partir de la potencia y el voltaje transmitidos.
   $$I=\frac{P}{V}$$
2. Cálculo numérico de corriente — Sustituimos los valores dados para obtener la corriente en el cable.
   $$I=\frac{1\times {10}^9}{5\times {10}^5}=2000\text{A}$$
3. Sección transversal mínima — La sección mínima se calcula dividiendo la corriente entre la densidad de corriente máxima permitida.
   $$A_{min}=\frac{I}{J_{max}}$$
4. Cálculo numérico de sección — Sustituimos los valores para obtener la sección transversal necesaria.
   $$A_{min}=\frac{2000\text{A}}{300{\text{A/mm}}^2}=6.67{\text{mm}}^2$$
5. Verificación práctica — Una sección de 6.67 mm² es realizable con cables superconductores comerciales. Para mayor seguridad, se suele usar un factor de seguridad de 2, resultando en una sección de aproximadamente 13.3 mm².

$$I=2000\text{A},A_{min}=6.67{\text{mm}}^2$$

→ La corriente es de 2000 A y la sección transversal mínima necesaria es 6.67 mm²

1. Fórmula del campo magnético — El campo magnético en el interior de un solenoide largo está dado por esta relación fundamental.
   $$B={\mu }_0\frac{N}{l}I$$
2. Despeje de corriente — Despejamos la corriente I de la fórmula del campo magnético.
   $$I=\frac{Bl}{{\mu }_{0}N}$$
3. Sustitución numérica — Sustituimos los valores dados en la fórmula despejada.
   $$I=\frac{3\times 1}{(4\pi \times {10}^{-7})\times 1000}=\frac{3}{4\pi \times {10}^{-4}}\approx 2387.32\text{A}$$

$$2387\text{A}$$

→ Se necesita una corriente de aproximadamente 2387 A en el superconductor

1. Ley de Faraday-Lenz — La fuerza electromotriz inducida en un circuito cerrado está dada por la variación del flujo magnético.
   $$ℰ=-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}$$
2. Flujo magnético en el anillo — El flujo magnético a través del anillo es proporcional a la corriente que circula por él.
   $${\mathrm{\Phi }}_B=LI$$
3. Sustitución en la ley de Faraday — Sustituimos la expresión del flujo magnético en la ley de Faraday-Lenz.
   $$ℰ=-\frac{d(LI)}{dt}=-L\frac{dI}{dt}$$
4. Ley de Ohm en superconductor — En un superconductor ideal, la resistencia es cero, por lo que la fuerza electromotriz inducida debe ser cero para mantener la corriente constante.
   $$V=RI=0\Rightarrow ℰ=0$$
5. Ecuación final — Igualamos las dos expresiones para la fuerza electromotriz inducida.
   $$L\frac{dI}{dt}=0$$
6. Interpretación física — Esta ecuación muestra que la corriente en un superconductor ideal no cambia con el tiempo. La corriente persistente es constante e indefinida.

→ En un superconductor ideal, la corriente persistente cumple $L\frac{dI}{dt}=0$, lo que demuestra que la corriente es constante en el tiempo y persiste indefinidamente.

1. Energía con pérdidas actuales — La energía total consumida incluye las pérdidas, pero solo el 90% es energía útil.
   $$E_{\acute{u}til}=E_{total}\times (1-\text{pérdidas})=5\times {10}^6\times 0.9=4.5\times {10}^6\text{kWh}$$
2. Energía ahorrada con superconductores — Al reemplazar el 30% de la red, se eliminan el 30% de las pérdidas actuales.
   $$E_{ahorrada}=30\%\times \text{pérdidas}\times E_{total}=0.3\times 0.1\times 5\times {10}^6=1.5\times {10}^5\text{kWh}$$
3. Ahorro mensual en bolívares — Multiplicamos la energía ahorrada por el costo por kWh.
   $$Ahorro=E_{ahorrada}\times {\text{costo}}_{kWh}=1.5\times {10}^5\times 0.5=75000\text{VES}$$

$$75000\text{VES}$$

→ El ahorro mensual sería de 75 000 bolívares

1. Cálculo de corriente — La corriente se calcula directamente a partir de la potencia y el voltaje.
   $$I=\frac{P}{V}$$
2. Sustitución numérica — Sustituimos los valores dados para obtener la corriente en el cable.
   $$I=\frac{100\text{W}}{12\text{V}}=8.33\text{A}$$
3. Eficiencia del sistema — En un sistema superconductor, los 100 W de potencia se transmiten completamente a los equipos de medición sin pérdidas por resistencia en los cables. En un sistema convencional, parte de esta potencia se perdería como calor.

$$8.33\text{A}$$

→ La corriente en los cables superconductores es de 8.33 A. Este sistema sería más eficiente porque no hay pérdidas por resistencia en los cables.