Fórmulas clave de mecánica cuántica en Venezuela | ORBITECH

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Ecuación de Schrödinger y función de onda

Ecuaciones fundamentales que describen cómo evoluciona el estado cuántico de un sistema.

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo law

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ψ (𝐫, t) = \hat{H} ψ (𝐫, t)

Formes alternatives

$\hat{H} ψ (𝐫, t) = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ψ (𝐫, t)$ — Forma equivalente, común en textos
$- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} ψ + V (𝐫) ψ = i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t}$ — Forma explícita con operador Laplaciano y potencial V

Symbole	Signification	Unité
`i`	unidad imaginaria i = √(-1)
`\hbar`	constante reducida de Planck ħ = h/(2π) ≈ 1.0545718×10^{-34} J·s	J·s
`\psi(\mathbf{r}, t)`	función de onda describe el estado cuántico del sistema
`\hat{H}`	operador Hamiltoniano representa la energía total del sistema	J

Dimensions : $[E] = [M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Para un electrón en un potencial nulo, la solución estacionaria es ψ(x) = A sin(kx) con E = ħ²k²/(2m)

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo law

\hat{H} ψ (𝐫) = E ψ (𝐫)

Symbole	Signification	Unité
`\hat{H}`	operador Hamiltoniano	J
`\psi(\mathbf{r})`	función de onda estacionaria
`E`	energía del estado valores discretos en sistemas ligados	J

Dimensions : $[E] = [M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Para un electrón en un pozo infinito de ancho L=1 nm, E₁ = π²ħ²/(2mL²) ≈ 0.376 eV

Densidad de probabilidad definition

P (𝐫) = | ψ (𝐫) |^{2}

Formes alternatives

$P (x) = | ψ (x) |^{2} Δ x$ — Probabilidad en una región Δx unidimensional

Symbole	Signification	Unité
`P(\mathbf{r})`	densidad de probabilidad probabilidad por unidad de volumen
`\psi(\mathbf{r})`	función de onda

Dimensions : ${[L]}^{- 3} e n 3 D, {[L]}^{- 1} e n 1 D$

Exemple : Para ψ(x) = √(2/L) sin(πx/L) en un pozo infinito, P(x) = (2/L) sin²(πx/L) con L=1 nm

Principio de incertidumbre y cuantización

Relaciones fundamentales que limitan la precisión de las mediciones cuánticas y los niveles de energía discretos.

Principio de incertidumbre de Heisenberg law

Δ x Δ p \geq \frac{ℏ}{2}

Formes alternatives

$Δ E Δ t \geq \frac{ℏ}{2}$ — Para energía y tiempo
$Δ L_{z} Δ ϕ \geq \frac{ℏ}{2}$ — Para momento angular y ángulo azimutal

Symbole	Signification	Unité
`\Delta x`	incertidumbre en posición desviación estándar	m
`\Delta p`	incertidumbre en momento lineal	kg·m/s
`\hbar`	constante reducida de Planck ħ ≈ 1.05×10^{-34} J·s	J·s

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 1}$

Exemple : Si Δx ≈ 10^{-10} m (tamaño atómico), entonces Δp ≥ 5.27×10^{-25} kg·m/s

Relación de De Broglie law

λ = \frac{h}{p}

Symbole	Signification	Unité
`\lambda`	longitud de onda de De Broglie	m
`h`	constante de Planck h ≈ 6.626×10^{-34} J·s	J·s
`p`	momento lineal p = mv	kg·m/s

Dimensions : $[L]$

Exemple : Un electrón acelerado a 10^6 m/s tiene λ = h/( $m_{e}$ v) ≈ 7.28×10^{-10} m (0.728 nm)

Energía de niveles cuantizados en pozo infinito law

E_{n} = \frac{n^{2} π^{2} ℏ^{2}}{2 m L^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`E_n`	energía del nivel n n = 1,2,3,... (número cuántico)	J
`n`	número cuántico principal n ∈ ℕ
`m`	masa de la partícula para electrón $m_{e}$ ≈ 9.11×10^{-31} kg	kg
`L`	ancho del pozo longitud del sistema en 1D	m

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Para un electrón en L=1 nm, E₁ ≈ 0.376 eV, E₂ ≈ 1.504 eV (usando 1 eV = 1.602×10^{-19} J)

Operadores y valores esperados

Herramientas matemáticas para calcular magnitudes físicas en mecánica cuántica.

Valor esperado de un operador definition

⟨ \hat{A} ⟩ = \int ψ^{*} (𝐫) \hat{A} ψ (𝐫) d^{3} 𝐫

Formes alternatives

$⟨ \hat{A} ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} (x) \hat{A} ψ (x) d x$ — Forma unidimensional

Symbole	Signification	Unité
`\langle \hat{A} \rangle`	valor esperado del operador A promedio estadístico	depende de A
`\hat{A}`	operador observable ej: posición, momento, energía
`\psi(\mathbf{r})`	función de onda

Dimensions : $D e p e n d e d e l o p e r a d o r A$

Exemple : Para un electrón en el estado fundamental del átomo de hidrógeno, ⟨x⟩ = 0 (simetría)

Operador momento lineal definition

\hat{p} = - i ℏ \nabla

Formes alternatives

${\hat{p}}_{x} = - i ℏ \frac{\partial}{\partial x}$ — Componente x del operador momento

Symbole	Signification	Unité
`\hat{p}`	operador momento lineal	kg·m/s
`\nabla`	operador nabla ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)

Dimensions : $[M] [L] {[T]}^{- 1}$

Exemple : Para ψ(x) = A $e^{i k x}$ , ⟨p⟩ = ħk

Operador Hamiltoniano en 1D definition

\hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} + V (x)

Symbole	Signification	Unité
`\hat{H}`	operador Hamiltoniano energía total	J
`m`	masa de la partícula	kg
`V(x)`	potencial función de posición	J

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Para V(x)=0 y ψ(x)=sin(kx), E = ħ²k²/(2m)

Efecto túnel cuántico

Fenómeno donde partículas atraviesan barreras de potencial clásicamente infranqueables.

Probabilidad de tunelamiento (aproximación WKB) approximation

T \approx e^{- 2 κ L}

Formes alternatives

$T \approx 16 \frac{E}{V_{0}} (1 - \frac{E}{V_{0}}) e^{- 2 κ L}$ — Aproximación más precisa para barreras rectangulares

Symbole	Signification	Unité
`T`	coeficiente de transmisión probabilidad de atravesar la barrera
`\kappa`	constante de decaimiento κ = √(2m(V₀-E))/ħ	m^{-1}
`L`	ancho de la barrera espesor de la barrera de potencial	m
`V₀`	altura de la barrera energía potencial máxima	J
`E`	energía de la partícula E < V₀ para tunelamiento	J

Exemple : Para un electrón con E=1 eV, V₀=2 eV, L=0.5 nm: κ ≈ 5.12×10^9 $m^{- 1}$ , T ≈ 0.0001 (0.01%)

Constante de decaimiento κ definition

κ = \frac{\sqrt{2 m (V_{0} - E)}}{ℏ}

Symbole	Signification	Unité
`\kappa`	constante de decaimiento	m^{-1}
`m`	masa de la partícula para electrón $m_{e}$ ≈ 9.11×10^{-31} kg	kg
`V₀`	altura de la barrera	J
`E`	energía de la partícula	J
`\hbar`	constante reducida de Planck ≈1.05×10^{-34} J·s	J·s

Dimensions : ${[L]}^{- 1}$

Exemple : Para V₀-E = 1 eV = 1.602×10^{-19} J, m= $m_{e}$ : κ ≈ 5.12×10^9 $m^{- 1}$

Coeficiente de reflexión (barrera rectangular) approximation

R = 1 - T \approx 1 - e^{- 2 κ L}

Symbole	Signification	Unité
`R`	coeficiente de reflexión probabilidad de ser reflejada
`T`	coeficiente de transmisión
`\kappa`	constante de decaimiento	m^{-1}
`L`	ancho de la barrera	m

Exemple : Con T≈0.0001 como en el ejemplo anterior, R≈0.9999 (99.99%)

Momento angular y spin

Fórmulas para describir el momento angular en sistemas cuánticos, incluyendo spin.

Cuantización del momento angular orbital law

L^{2} = ℏ^{2} l (l + 1), L_{z} = m_{l} ℏ

Symbole	Signification	Unité
`L^2`	cuadrado del momento angular orbital	J²·s²
`l`	número cuántico orbital l = 0,1,2,...,n-1
`L_z`	componente z del momento angular	J·s
`m_l`	número cuántico magnético $m_{l}$ = -l,-l+1,...,l-1,l

Dimensions : ${[M]}^{2} {[L]}^{4} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Para l=1 (p-orbital), L² = 2ħ², $L_{z}$ puede ser -ħ, 0, +ħ

Spin del electrón law

S^{2} = ℏ^{2} s (s + 1), S_{z} = m_{s} ℏ

Symbole	Signification	Unité
`S^2`	cuadrado del spin	J²·s²
`s`	número cuántico de spin s = 1/2 para electrón
`S_z`	componente z del spin	J·s
`m_s`	número cuántico de spin z $m_{s}$ = ±1/2

Dimensions : ${[M]}^{2} {[L]}^{4} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Para electrón, S² = (3/4)ħ², $S_{z}$ = ±ħ/2

Reglas de selección para transiciones electrónicas law

Δ l = \pm 1, Δ m_{l} = 0, \pm 1

Symbole	Signification	Unité
`\Delta l`	cambio en número cuántico orbital
`\Delta m_l`	cambio en número cuántico magnético

Exemple : Transición de 2p (l=1) a 1s (l=0) está permitida (Δl=-1)

Entrelazamiento cuántico

Fórmulas clave para entender la correlación no clásica entre partículas entrelazadas.

Estado de Bell (singlete) definition

| Ψ^{-} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| ↑ ↓ ⟩ - | ↓ ↑ ⟩)

Formes alternatives

$| Φ^{+} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| ↑ ↑ ⟩ + | ↓ ↓ ⟩)$ — Otro estado de Bell

Symbole	Signification	Unité
`\|\Psi^-\rangle`	estado singlete de Bell estado maximamente entrelazado
`\|\uparrow\downarrow\rangle`	estado de dos partículas primera partícula arriba, segunda abajo

Exemple : Medición de spin en dirección z da resultados opuestos con 100% de correlación

Desigualdad de Bell (forma simplificada) theorem

| E (a, b) - E (a, b^{'}) | + | E (a^{'}, b) + E (a^{'}, b^{'}) | \leq 2

Symbole	Signification	Unité
`E(a,b)`	correlación de Bell para direcciones a,b valor esperado del producto de mediciones
`a,a',b,b'`	direcciones de medición vectores unitarios en esfera de Bloch

Exemple : En mecánica cuántica, se pueden violar esta desigualdad alcanzando valores hasta 2√2 ≈ 2.828

Paradoja EPR y desigualdad identity

E P R = 2 \sqrt{2} \approx 2.828

Symbole	Signification	Unité
`EPR`	valor máximo de correlación EPR violación máxima permitida por desigualdad de Bell

Exemple : Experimentos con fotones entrelazados han confirmado violaciones de hasta 2.40 ± 0.02

Aplicaciones en electrónica y tecnología

Fórmulas utilizadas en dispositivos cuánticos modernos y su relevancia en Venezuela.

Energía de Fermi en metales definition

E_{F} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} {(3 π^{2} n)}^{2 / 3}

Symbole	Signification	Unité
`E_F`	energía de Fermi máxima energía a T=0 K	J
`n`	densidad de electrones electrones por unidad de volumen	m^{-3}
`m`	masa del electrón $m_{e}$ ≈ 9.11×10^{-31} kg	kg

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Para cobre (n ≈ 8.49×10^{28} $m^{- 3}$ ), $E_{F}$ ≈ 7.03 eV

Longitud de onda de Compton definition

λ_{C} = \frac{h}{m_{e} c}

Symbole	Signification	Unité
`\lambda_C`	longitud de onda de Compton escala de dispersión de fotones	m
`h`	constante de Planck ≈6.626×10^{-34} J·s	J·s
`m_e`	masa del electrón ≈9.11×10^{-31} kg	kg
`c`	velocidad de la luz ≈3.00×10^8 m/s	m/s

Dimensions : $[L]$

Exemple : Para electrón, λ_C ≈ 2.43×10^{-12} m (2.43 pm)

Tiempo de coherencia en láseres definition

τ_{c} = \frac{λ^{2}}{c Δ λ}

Formes alternatives

$τ_{c} = \frac{1}{Δ ν}$ — Relación con ancho de banda de frecuencia Δν

Symbole	Signification	Unité
`\tau_c`	tiempo de coherencia duración de la correlación de fase	s
`\lambda`	longitud de onda central ej: 632.8 nm para láser He-Ne	m
`\Delta \lambda`	ancho espectral incertidumbre en longitud de onda	m
`c`	velocidad de la luz ≈3.00×10^8 m/s	m/s

Dimensions : $[T]$

Exemple : Para láser He-Ne (λ=632.8 nm, Δλ=1 pm), τ_c ≈ 1.33 ns

Ecuación de Schrödinger y función de onda

Principio de incertidumbre y cuantización

Operadores y valores esperados

Efecto túnel cuántico

Momento angular y spin

Entrelazamiento cuántico

Aplicaciones en electrónica y tecnología

Fuentes