Fórmulas clave de física del estado sólido: del átomo al chip en | ORBITECH

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Estructura cristalina y difracción

Fórmulas para describir la disposición atómica en cristales y su interacción con radiación.

Ley de Bragg law

2 d \sin θ = n λ

Symbole	Signification	Unité
`d`	distancia interplanar Para grafito, d ≈ 3.35×10⁻¹⁰ m	m
`\theta`	ángulo de Bragg Entre haz incidente y planos cristalinos	rad
`n`	orden de difracción Entero positivo (1, 2, 3...)
`\lambda`	longitud de onda de radiación Rayos X: λ ≈ 1.54×10⁻¹⁰ m (Cu Kα)	m

Dimensions : $[L]$

Exemple : Cuarzo (d=3.34×10⁻¹⁰ m), λ=1.54×10⁻¹⁰ m, n=1: θ = arcsin(1.54×10⁻¹⁰/(2×3.34×10⁻¹⁰)) ≈ 13.5°

Factor de estructura definition

F_{𝐆} = \sum_{j} f_{j} e^{i 𝐆 \cdot 𝐫_{j}}

Symbole	Signification	Unité
`F_{\mathbf{G}}`	factor de estructura Amplitud de onda dispersada
`\mathbf{G}`	vector de red recíproca G = hb₁ + kb₂ + lb₃	m⁻¹
`f_j`	factor de scattering atómico Depende del átomo j
`\mathbf{r}_j`	posición del átomo j En la celda unitaria	m

Dimensions : $1$

Exemple : Para estructura FCC (ej. aluminio), $F_{G}$ = 4f para planos (111) si G· $r_{j}$ = 0

Distancia interplanar definition

d_{h k l} = \frac{a}{\sqrt{h^{2} + k^{2} + l^{2}}}

Symbole	Signification	Unité
`d_{hkl}`	distancia interplanar Para planos cristalográficos (hkl)	m
`a`	parámetro de red Longitud de la arista de la celda unitaria	m
`h,k,l`	índices de Miller Enteros sin factor común

Dimensions : $[L]$

Exemple : Silicio (a=5.43×10⁻¹⁰ m), planos (111): d = 5.43×10⁻¹⁰/√3 ≈ 3.14×10⁻¹⁰ m

Propiedades electrónicas de los sólidos

Fórmulas que describen el comportamiento de los electrones en materiales sólidos.

Energía de Fermi para gas de electrones libres definition

E_{F} = \frac{ℏ^{2}}{2 m_{e}} {(3 π^{2} n)}^{2 / 3}

Symbole	Signification	Unité
`E_F`	energía de Fermi Energía máxima a T=0 K	J
`\hbar`	constante de Planck reducida ħ = 1.055×10⁻³⁴ J·s	J·s
`m_e`	masa del electrón $m_{e}$ = 9.11×10⁻³¹ kg	kg
`n`	densidad de electrones Cobre: n ≈ 8.49×10²⁸ m⁻³	m⁻³

Dimensions : [M][L]^{2}[T]⁻^{2} ParseError: Double superscript at position 15: [M][L]^{2}[T]⁻^̲{2}

Exemple : Cobre (n=8.49×10²⁸ m⁻³): $E_{F}$ ≈ 1.13×10⁻¹⁸ J (7.03 eV)

Densidad de estados en 3D definition

g (E) = \frac{1}{2 π^{2}} {(\frac{2 m_{e}}{ℏ^{2}})}^{3 / 2} \sqrt{E}

Symbole	Signification	Unité
`g(E)`	densidad de estados Estados por unidad de energía y volumen	J⁻¹m⁻³
`E`	energía Energía de los electrones	J

Dimensions : [L]⁻^{3}[E]⁻^{1} ParseError: Double superscript at position 5: [L]⁻^̲{3}[E]⁻^{1}

Exemple : A E=1 eV, g(E) ≈ 1.06×10⁴⁷ J⁻¹m⁻³ para electrones en cobre

Modelo de Drude para conductividad law

σ = \frac{n e^{2} τ}{m_{e}}

Symbole	Signification	Unité
`\sigma`	conductividad eléctrica Cobre: σ ≈ 5.96×10⁷ S/m	S/m
`n`	densidad de electrones libres Depende del material	m⁻³
`e`	carga elemental e = 1.602×10⁻¹⁹ C	C
`\tau`	tiempo de relajación Cobre: τ ≈ 2.5×10⁻¹⁴ s	s
`m_e`	masa del electrón $m_{e}$ = 9.11×10⁻³¹ kg	kg

Dimensions : [M]⁻^{1}[L]⁻^{3}[T]^{3}[I]^{2} ParseError: Double superscript at position 5: [M]⁻^̲{1}[L]⁻^{3}[T]^…

Exemple : Aluminio (n=1.81×10²⁹ m⁻³, τ=8×10⁻¹⁴ s): σ ≈ 3.78×10⁷ S/m

Semiconductores y dispositivos

Fórmulas esenciales para entender y diseñar dispositivos electrónicos basados en semiconductores.

Ecuación de continuidad para electrones law

\frac{\partial n}{\partial t} = G_{n} - R_{n} + \frac{1}{e} \nabla \cdot 𝐉_{n}

Symbole	Signification	Unité
`n`	concentración de electrones En equilibrio: n = $n_{i}$ para intrínseco	m⁻³
`G_n`	tasa de generación de electrones Por iluminación o radiación	m⁻³s⁻¹
`R_n`	tasa de recombinación de electrones Depende de n, p y temperatura	m⁻³s⁻¹
`\mathbf{J}_n`	densidad de corriente de electrones $J_{n}$ = e n μ_n E + e $D_{n}$ ∇n	A/m²
`e`	carga elemental e = 1.602×10⁻¹⁹ C	C

Dimensions : [L]⁻^{3}[T]⁻^{1} ParseError: Double superscript at position 5: [L]⁻^̲{3}[T]⁻^{1}

Exemple : Fotodetector de silicio: G=10²⁰ m⁻³s⁻¹, R=5×10¹⁹ m⁻³s⁻¹ → ∂n/∂t = 5×10¹⁹ m⁻³s⁻¹

Ley de acción de masas law

n p = n_{i}^{2}

Symbole	Signification	Unité
`n`	concentración de electrones	m⁻³
`p`	concentración de huecos	m⁻³
`n_i`	concentración intrínseca Silicio a 300 K: $n_{i}$ ≈ 1.5×10¹⁶ m⁻³	m⁻³

Dimensions : ${[L]}^{- 6}$

Exemple : Silicio dopado: n=10²⁴ m⁻³ → p = (1.5×10¹⁶)²/10²⁴ = 2.25×10⁸ m⁻³

Ecuación de Schottky para barrera metal-semiconductor law

J = A^{*} T^{2} e^{- \frac{ϕ_{B}}{k_{B} T}} (e^{\frac{q V}{k_{B} T}} - 1)

Symbole	Signification	Unité
`J`	densidad de corriente Corriente directa vs inversa	A/m²
`A^*`	constante de Richardson A* ≈ 1.2×10⁶ A/m²K² para silicio	A/m²K²
`T`	temperatura absoluta En Kelvin	K
`\phi_B`	altura de barrera Energía de la barrera Schottky	J
`k_B`	constante de Boltzmann $k_{B}$ = 1.38×10⁻²³ J/K	J/K
`V`	voltaje aplicado Positivo para polarización directa	V

Dimensions : [I][L]⁻^{2} ParseError: Double superscript at position 8: [I][L]⁻^̲{2}

Exemple : Silicio a 300 K, φ_B=0.7 eV, V=0.5 V: J ≈ 1.2×10⁶ × 9×10⁴ × e^(-0.7/0.0259) × (e^(0.5/0.0259)-1) ≈ 10⁴ A/m²

Propiedades térmicas y vibraciones

Fórmulas que describen el comportamiento térmico y vibracional de los sólidos.

Ley de Fourier para conducción térmica law

𝐉_{q} = - k \nabla T

Symbole	Signification	Unité
`\mathbf{J}_q`	densidad de flujo de calor Flujo de energía por unidad de área	W/m²
`k`	conductividad térmica Cobre: k≈400 W/m·K; aire: k≈0.026 W/m·K	W/m·K
`\nabla T`	gradiente de temperatura Variación espacial de T	K/m

Dimensions : [M][T]⁻^{3} ParseError: Double superscript at position 8: [M][T]⁻^̲{3}

Exemple : Pared de concreto (k=1.7 W/m·K, espesor=0.2 m, ΔT=20 K): $J_{q}$ = -1.7 × (20/0.2) = -170 W/m²

Ley de Dulong-Petit law

C_{V} = 3 R

Symbole	Signification	Unité
`C_V`	capacidad calorífica molar Para sólidos a T ambiente	J/mol·K
`R`	constante de los gases R = 8.314 J/mol·K	J/mol·K

Dimensions : [M][L]^{2}[T]⁻^{2}[Θ]⁻^{1}[mol]⁻^{1} ParseError: Double superscript at position 15: [M][L]^{2}[T]⁻^̲{2}[Θ]⁻^{1}[mol…

Exemple : Aluminio (masa molar=27 g/mol): $C_{V}$ = 3×8.314 ≈ 24.9 J/mol·K

Frecuencia de Debye definition

ω_{D} = v_{s} {(6 π^{2} n)}^{1 / 3}

Symbole	Signification	Unité
`\omega_D`	frecuencia de Debye Frecuencia máxima de fonones	rad/s
`v_s`	velocidad del sonido En el sólido	m/s
`n`	densidad de átomos Depende del material	m⁻³

Dimensions : [T]⁻^{1} ParseError: Double superscript at position 5: [T]⁻^̲{1}

Exemple : Cobre ( $v_{s}$ ≈3570 m/s, n=8.49×10²⁸ m⁻³): ω_D ≈ 3.03×10¹³ rad/s

Propiedades magnéticas y ópticas

Fórmulas para describir el comportamiento magnético y la interacción con luz en sólidos.

Ley de Curie para susceptibilidad magnética law

χ = \frac{C}{T}

Symbole	Signification	Unité
`\chi`	susceptibilidad magnética Para paramagnéticos: χ > 0
`C`	constante de Curie Gadolinio: C≈15 K	K
`T`	temperatura absoluta En Kelvin	K

Dimensions : $1$

Exemple : Material con C=10 K a T=300 K: χ = 10/300 ≈ 0.033

Ley de Beer-Lambert para absorción óptica law

I = I_{0} e^{- α x}

Symbole	Signification	Unité
`I`	intensidad transmitida Después de atravesar el material	W/m²
`I_0`	intensidad incidente Intensidad inicial	W/m²
`\alpha`	coeficiente de absorción Silicio a 800 nm: α≈10⁵ m⁻¹	m⁻¹
`x`	espesor del material Distancia recorrida por la luz	m

Dimensions : $1$

Exemple : Silicio (α=10⁵ m⁻¹, x=1 mm): I = 1000 × e^(-10⁵×0.001) ≈ 4.54×10⁻⁴⁴ W/m² (opaco)

Relación de Kramers-Kronig identity

ϵ_{r} (ω) = 1 + \frac{2}{π} 𝒫 \int_{0}^{\infty} \frac{ω^{'} ϵ_{2} (ω^{'})}{ω^{' 2} - ω^{2}} d ω^{'}

Symbole	Signification	Unité
`\epsilon_r(\omega)`	constante dieléctrica real Parte real de la permitividad
`\epsilon_2(\omega)`	constante dieléctrica imaginaria Parte imaginaria (absorción)
`\omega`	frecuencia angular Frecuencia de la luz	rad/s
`\mathcal{P}`	valor principal de Cauchy Integral en sentido de valor principal

Dimensions : $1$

Exemple : Para un material con ε₂(ω) conocido, calcular ε_r(ω) a ω=10¹⁵ rad/s integrando numéricamente

Estructura cristalina y difracción

Propiedades electrónicas de los sólidos

Semiconductores y dispositivos

Propiedades térmicas y vibraciones

Propiedades magnéticas y ópticas

Fuentes