La Estructura Atómica: Fórmulas que Revelan el Universo en Mini | ORBITECH

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Modelo de Bohr y niveles de energía

Fórmulas que describen los niveles energéticos del electrón en el átomo según el modelo de Bohr

Fórmula de Rydberg para energía del electrón law

E_{n} = - \frac{13.6 eV}{n^{2}}

Formes alternatives

$E_{n} = - \frac{2.18 \times 10^{- 18} J}{n^{2}}$ — Expresión en julios (SI)

Symbole	Signification	Unité
`E_n`	energía del electrón en el nivel n n: número cuántico principal (n ≥ 1). Valor negativo indica estado ligado	electronvolt
`n`	número cuántico principal Nivel energético (1, 2, 3...). Para hidrógeno, n=1 es el estado fundamental

Exemple : Calcular la energía del electrón en el nivel n=2 del átomo de hidrógeno: $E_{2}$ = -13.6/4 = -3.4 eV

Fórmula de Rydberg para transiciones electrónicas law

\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}})

Symbole	Signification	Unité
`\lambda`	longitud de onda del fotón emitido/absorbido Para transiciones en el espectro visible, λ está en nanómetros (nm)	metro
`R_H`	constante de Rydberg para hidrógeno $R_{H}$ ≈ 1.097 × 10^7 $m^{- 1}$	metro a la menos uno
`n_1`	nivel cuántico inferior $n_{1}$ < $n_{2}$ . Para serie de Balmer (visible), $n_{1}$ =2
`n_2`	nivel cuántico superior $n_{2}$ > $n_{1}$ . Para primera línea de Balmer, $n_{2}$ =3

Dimensions : $[L^{- 1}]$

Exemple : Calcular λ para la transición n=3 → n=2 en hidrógeno: 1/λ = 1.097e7(1/4 - 1/9) → λ ≈ 656 nm (rojo visible)

Energía del fotón emitido en transición electrónica law

E = h \cdot c \cdot (\frac{1}{λ})

Formes alternatives

$E = \frac{h \cdot c}{λ}$ — Forma más común

Symbole	Signification	Unité
`E`	energía del fotón También se puede expresar en electronvolt (eV)	julio
`h`	constante de Planck h ≈ 6.626 × 10^{-34} J·s	julio por segundo
`c`	velocidad de la luz en vacío c ≈ 3.00 × 10^8 m/s	metro por segundo
`\lambda`	longitud de onda del fotón Para luz visible, λ está entre 400-700 nm	metro

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Calcular la energía del fotón emitido en la transición n=3→n=2 del hidrógeno (λ=656 nm): E = (6.626e-34 × 3e8)/(656e-9) ≈ 3.03 × 10^{-19} J ≈ 1.89 eV

Fuerza electrostática y ley de Coulomb

Interacciones entre partículas cargadas en el átomo usando la ley de Coulomb

Ley de Coulomb para fuerzas entre cargas law

F = k_{e} \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`F`	fuerza electrostática Atractiva si cargas opuestas, repulsiva si cargas iguales	newton
`k_e`	constante de Coulomb $k_{e}$ ≈ 8.988 × 10^9 N·m²/C²	newton por metro cuadrado entre coulomb al cuadrado
`q_1, q_2`	cargas eléctricas Para protón: q = +1.602 × 10^{-19} C. Para electrón: q = -1.602 × 10^{-19} C	coulomb
`r`	distancia entre cargas En átomos, r es del orden de 10^{-10} m (angstrom)	metro

Dimensions : $[M] [L] {[T]}^{- 2}$

Exemple : Calcular la fuerza entre protón y electrón en el átomo de hidrógeno (r=5.29 × 10^{-11} m): F = 8.988e9 × (1.602e-19)^2/(5.29e-11)^2 ≈ 8.22 × 10^{-8} N

Energía potencial electrostática law

U = k_{e} \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r}

Symbole	Signification	Unité
`U`	energía potencial electrostática Negativa para cargas opuestas (sistema ligado)	julio
`k_e`	constante de Coulomb Mismo valor que en ley de Coulomb	newton por metro cuadrado entre coulomb al cuadrado
`q_1, q_2`	cargas eléctricas Mismas cargas que en ley de Coulomb	coulomb
`r`	distancia entre cargas Distancia interatómica típica	metro

Dimensions : $[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2}$

Exemple : Calcular la energía potencial entre protón y electrón en hidrógeno (r=5.29 × 10^{-11} m): U = -8.22 × 10^{-19} J (negativa por atracción)

Campo eléctrico de una carga puntual law

E = k_{e} \frac{q}{r^{2}}

Symbole	Signification	Unité
`E`	intensidad del campo eléctrico También se puede expresar en V/m (volt por metro)	newton por coulomb
`k_e`	constante de Coulomb Mismo valor que en ley de Coulomb	newton por metro cuadrado entre coulomb al cuadrado
`q`	carga eléctrica Carga de la partícula que genera el campo	coulomb
`r`	distancia a la carga Distancia desde la carga puntual	metro

Dimensions : $[M] [L] {[T]}^{- 3} {[I]}^{- 1}$

Exemple : Campo eléctrico a 1 nm de un protón: E = 8.988e9 × 1.602e-19/(1e-9)^2 ≈ 1.44 × 10^6 N/C

Número atómico, masa atómica y neutrones

Relaciones fundamentales entre las propiedades de los átomos

Relación entre número atómico, masa atómica y neutrones law

A = Z + N

Symbole	Signification	Unité
`A`	número de masa (masa atómica aproximada) Entero más cercano a la masa atómica en u. Ej: carbono-12 tiene A=12
`Z`	número atómico (protones) Identifica el elemento químico. Ej: Z=6 para carbono
`N`	número de neutrones N = A - Z. Ej: carbono-12 tiene N=6 neutrones

Exemple : El carbono-12 tiene Z=6 y A=12, por lo que N = 12 - 6 = 6 neutrones

Masa atómica aproximada approximation

m_{\overset{´}{a} t o m o} \approx A \times 1.6605 \times 10^{- 27} kg

Symbole	Signification	Unité
`m_{átomo}`	masa del átomo Aproximación válida para átomos con A < 100	kilogramo
`A`	número de masa Mismo que en fórmula anterior

Dimensions : $[M]$

Exemple : Masa del átomo de oxígeno-16 (A=16): m ≈ 16 × 1.6605e-27 ≈ 2.66 × 10^{-26} kg

Densidad nuclear aproximada definition

ρ_{n \overset{´}{u} c l e o} = \frac{m_{p r o t \overset{´}{o} n}}{V_{p r o t \overset{´}{o} n}} = \frac{3}{4 π r_{0}^{3}}

Formes alternatives

$ρ_{n \overset{´}{u} c l e o} \approx 2.3 \times 10^{17} {kg/m}^{3}$ — Valor numérico aproximado

Symbole	Signification	Unité
`\rho_{núcleo}`	densidad nuclear Prácticamente constante para todos los núcleos atómicos	kilogramo por metro cúbico
`m_{protón}`	masa del protón $m_{p}$ ≈ 1.6726 × 10^{-27} kg	kilogramo
`V_{protón}`	volumen nuclear Asumiendo núcleo esférico con radio R = $r_{0}$ $A^{1 / 3}$	metro cúbico
`r_0`	constante nuclear $r_{0}$ ≈ 1.2 × 10^{-15} m (1.2 femtómetros)	metro

Dimensions : $[M] {[L]}^{- 3}$

Exemple : La densidad nuclear es aproximadamente 2.3 × 10^17 kg/m³, equivalente a 230 millones de toneladas por cm³

Longitud de onda de de Broglie

Relación entre momento lineal y longitud de onda de partículas subatómicas

Longitud de onda de de Broglie law

λ = \frac{h}{p}

Symbole	Signification	Unité
`\lambda`	longitud de onda de de Broglie Para electrones acelerados, λ está en nanómetros o picómetros	metro
`h`	constante de Planck h ≈ 6.626 × 10^{-34} J·s	julio por segundo
`p`	momento lineal p = m·v para partículas no relativistas	kilogramo por metro por segundo

Dimensions : $[L]$

Exemple : Calcular λ para un electrón con velocidad v=10^6 m/s ( $m_{e}$ =9.11 × 10^{-31} kg): p = 9.11e-31 × 1e6 = 9.11e-25 kg·m/s → λ = 6.626e-34/9.11e-25 ≈ 7.27 × 10^{-10} m = 0.727 nm

Momento lineal de un electrón acelerado law

p = m_{e} \cdot v = \sqrt{2 m_{e} E_{k}}

Symbole	Signification	Unité
`p`	momento lineal del electrón Para electrones no relativistas	kilogramo por metro por segundo
`m_e`	masa del electrón $m_{e}$ ≈ 9.109 × 10^{-31} kg	kilogramo
`v`	velocidad del electrón v << c (no relativista)	metro por segundo
`E_k`	energía cinética del electrón $E_{k}$ = ½ $m_{e}$ v²	julio

Dimensions : $[M] [L] {[T]}^{- 1}$

Exemple : Electrón con $E_{k}$ =100 eV = 1.602e-17 J: p = sqrt(2 × 9.109e-31 × 1.602e-17) ≈ 5.40 × 10^{-24} kg·m/s

Longitud de onda de de Broglie para electrones en microscopía approximation

λ = \frac{1.227}{\sqrt{V}} nm

Symbole	Signification	Unité
`\lambda`	longitud de onda de de Broglie del electrón V es el voltaje de aceleración en voltios	nanómetro
`V`	voltaje de aceleración Típico en microscopios electrónicos: 100 V a 300 kV	voltio

Dimensions : $[L]$

Exemple : Electrón acelerado con V=100 V: λ = 1.227/sqrt(100) = 0.1227 nm (resolución típica de microscopio electrónico)

Configuración electrónica

Distribución de electrones en orbitales atómicos según reglas cuánticas

Principio de Aufbau (construcción progresiva) definition

Exemple : El orden de llenado es: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s...

Diagrama de Moeller (orden de llenado) definition

Exemple : El diagrama muestra la secuencia: 1s → 2s → 2p → 3s → 3p → 4s → 3d → 4p → 5s...

Número máximo de electrones por nivel y subnivel law

N_{m \overset{´}{a} x} = 2 (2 l + 1)

Formes alternatives

$N_{m \overset{´}{a} x} = 2 n^{2}$ — Número máximo por nivel principal n

Symbole	Signification	Unité
`N_{máx}`	número máximo de electrones l: número cuántico azimutal (0=s, 1=p, 2=d, 3=f)
`l`	número cuántico azimutal l = 0,1,2,...,n-1

Exemple : Para subnivel p (l=1): $N_{m}$ áx = 2(2×1 + 1) = 6 electrones

Configuración electrónica del estado fundamental definition

Exemple : Configuración del hierro (Fe, Z=26): 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 4s² 3d⁶

Modelo de Bohr y niveles de energía

Fuerza electrostática y ley de Coulomb

Número atómico, masa atómica y neutrones

Longitud de onda de de Broglie

Configuración electrónica

Fuentes