Objetivos del curso: Al terminar, podrás resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, aplicar métodos de resolución y entender su importancia en modelado matemático.
Prerequisites: Conocimientos de cálculos diferencial e integral, álgebra lineal básica.
I. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
Las ecuaciones diferenciales describen cómo una cantidad cambia. Se clasifican por orden (número de derivadas más altas) y tipo (lineales, no lineales, homogéneas, etc.).
Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación que relacione una función con sus derivadas.
Son esenciales en física, ingeniería y economía para modelar sistemas dinámicos.
Key point: El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor grado presente.
II. Ecuaciones de Primer Orden
Las ecuaciones de primer orden tienen la forma $$1$.
1. Ecuaciones Separables
Forma: $$1$. Se resuelven separando variables:
Ejemplo: Resolver $$1$.
Paso 1: Separar variables: $$1$
Paso 2: Integrar ambos lados: $$1$
Paso 3: Exponenciar: $$1$
¡Ojo! Error común: Olvidar la constante de integración. Siempre incluir $+ C$ al integrar.
Key point: Para separables, verifica que $g(y) \neq 0$ y $f(x) \neq 0$.
III. Ecuaciones de Segundo Orden
Forma general: $$1$
1. Ecuaciones Lineales de Segundo Orden
Se resuelven con el método de coeficientes indeterminados o variación de parámetros.
Teorema: Si $y_1$ y $y_2$ son soluciones linealmente independientes de $ay'' + by' + cy = 0$, la solución general es $y = C_1y_1 + C_2y_2$.
Ejemplo: Resolver $y'' - 3y' + 2y = 0$
Paso 1: Ecuación característica: $r^2 - 3r + 2 = 0$ → $r=1,2$
Paso 2: Solución: $y = C_1e^x + C_2e^{2x}$
¡Ojo! Si las raíces son complejas, usar funciones trigonométricas.
Key point: Para ecuaciones lineales, siempre buscar soluciones homogéneas primero.
IV. Aplicaciones Prácticas
Ejemplo: Ley de enfriamiento de Newton. Si un cuerpo se enfría en un medio, su temperatura $$1$.
Ejemplo: Si un café a 90°C se enfría en una habitación a 20°C, con $k=0.1$, hallar $T(t)$.
Solución: $T(t) = 20 + 70e^{-0.1t}$
V. Resumen
| Tipo | Método |
|---|---|
| Primer orden separable | Separar variables e integrar |
| Segundo orden lineal | Ecuación característica |
VI. Ejercicios de Aplicación
- Resolver $$1$
- Hallar la solución general de $y'' + 4y = 0$
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