Introducción
Las ecuaciones diferenciales son fundamentales en matemáticas para modelar fenómenos del mundo real. En este recueil, nos enfocamos en las ecuaciones de primer y segundo orden, esenciales para resolver problemas en física, ingeniería y ciencias.
Formules essentielles
- Ecuación lineal de primer orden: $$y' + P(x)y = Q(x)$$
- Ecuación separable: $$1$$
- Ecuación lineal de segundo orden: $$ay'' + by' + cy = f(x)$$
- Solución general: $$y = y_h + y_p$$
- Ecuación homogénea de segundo orden: $$ay'' + by' + cy = 0$$
Ecuaciones de primer orden
Ecuación diferencial lineal de primer orden
$$y' + P(x)y = Q(x)$$
Où : \( y' = \frac{dy}{dx} \), \( P(x) \) y \( Q(x) \) son funciones continuas.
Ejemplo: Resolver \( y' + 2y = e^x \)
Factor integrante: \( e^{\int 2 dx} = e^{2x} \). Multiplicamos:
$$e^{2x}y' + 2e^{2x}y = e^{3x}$$
La derivada de \( e^{2x}y \) es \( e^{2x}y' + 2e^{2x}y \). Integramos:
$$1$$
Solución: $$1$$
Ecuación separable
$$1$$
Où : \( f(x) \) y \( g(y) \) son funciones continuas.
Ejemplo: Resolver \( \frac{dy}{dx} = xy \)
Separamos variables:
$$1$$
Solución: $$1$$
Por lo tanto: $$1$$
Unités y pièges
Error común: Olvidar que \( P(x) \) y \( Q(x) \) deben ser continuas en el intervalo. Verificar siempre la existencia de la solución.
Ecuaciones de segundo orden
Ecuación lineal de segundo orden
$$ay'' + by' + cy = f(x)$$
Où : \( a, b, c \) son constantes, \( f(x) \) es continua.
Ejemplo: Resolver \( y'' - 3y' + 2y = 0 \)
Ecuación característica: \( r^2 - 3r + 2 = 0 \) → \( r=1, r=2 \)
Solución general: $$y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$$
Ecuación homogénea de segundo orden
$$ay'' + by' + cy = 0$$
Où : La solución depende del discriminante \( D = b^2 - 4ac \).
Unités y pièges
Error común: Confundir las condiciones iniciales. Recordar que se necesitan dos condiciones para resolver ecuaciones de segundo orden.
Resumen de fórmulas
| Nombre | Formule | Aplicación |
|---|---|---|
| Ecuación lineal de primer orden | $$y' + P(x)y = Q(x)$$ | Modelar crecimiento y decaimiento |
| Ecuación separable | $$1$$ | Problemas de tasas relacionadas |
| Ecuación lineal de segundo orden | $$ay'' + by' + cy = f(x)$$ | Oscilaciones, circuitos eléctricos |
| Solución general | $$y = y_h + y_p$$ | Cualquier ecuación lineal |
| Ecuación homogénea | $$ay'' + by' + cy = 0$$ | Sistemas sin fuerza externa |
Mnémotechniques
Para recordar la ecuación lineal de primer orden: "PQ" para \( y' + P(x)y = Q(x) \).
Para segundo orden: "abc" para \( ay'' + by' + cy = f(x) \).
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