كل شيء عن الهندسة الإحداثية: формулы وأمثلة عملية

هل تعلم أن نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) في هاتفك يستخدم الهندسة الإحداثية لتحديد موقعك؟ نعم، هذه الرياضيات التي قد تبدو معقدة هي التي تجعل من الممكن تحديد موقعك على الخريطة. تخيل أنك تلعب لعبة "غواصات" مع صديقك. تقول "B5" ويعرف صديقك بالضبط أين يستهدف. هذا مشابه لكيفية عمل الهندسة الإحداثية، ولكن باستخدام أرقام بدلاً من الحروف وشبكة تمتد إلى ما لا نهاية في جميع الاتجاهات.

أساسيات الهندسة الإحداثية

دعنا نdefine الهندسة الإحداثية. إنها فرع من الرياضيات يتعامل مع النقاط والخطوط والأشكال على مستوى باستخدام إحداثيات. المستوى الإحداثي مثل شبكة عملاقة تمتد إلى ما لا نهاية في جميع الاتجاهات. لديها محوران: المحور السيني (أفقي) والمحور الصادي (عمودي). النقطة التي يتقاطع فيها هذان المحوران تسمى أصل التربيع، وت denoted (0, 0).

المستوى الإحداثي

المستوى الإحداثي مقسم إلى أربعة أربعات. الربع الأول هو حيث يكون كل من x و y إيجابيين. الربع الثاني هو حيث يكون x سالبًا و y إيجابيًا. الربع الثالث هو حيث يكون كل من x و y سالبين. الربع الرابع هو حيث يكون x إيجابيًا و y سالبًا.

لنفترض أنك في الأصل (0, 0) وتريد الذهاب إلى النقطة (3, 4). ستنتقل 3 وحدات إلى اليمين على طول المحور السيني ثم 4 وحدات إلى الأعلى على طول المحور الصادي.

صيغة المسافة

الآن، لنفترض أنك تريد Finding المسافة بين نقطتين على المستوى الإحداثي. افترض أنك لديك نقطتان، A (x1, y1) و B (x2, y2). يمكن Finding المسافة بين A و B باستخدام صيغة المسافة:

$$ d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2} $$

تأتي هذه الصيغة من نظرية فيثاغورس. تخيل أنك ترسم مثلثًا قائمًا حيث تكون النقطتان عند نهايات الوتر. أرجل المثلث هي الاختلافات في إحداثيات x و y.

صيغة نقطة الوسط

ماذا لو أردت Finding النقطة التي تقع بالضبط في وسط نقطتين أخريين؟ هذا هو المكان الذي تأتي فيه صيغة نقطة الوسط. إذا كان لديك نقطتان، A (x1, y1) و B (x2, y2)، فإن نقطة الوسط M هي:

$$ M = \left( \frac{x1 + x2}{2}, \frac{y1 + y2}{2} \right) $$

صيغة الميل

ميل الخط هو مقياس لمدى انحداره. إذا كان لديك نقطتان على خط، A (x1, y1) و B (x2, y2)، فإن الميل m هو:

$$ m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1} $$

يمكن أن يكون الميل إيجابيًا أو سلبيًا أو صفرًا أو غير محدد. الميل الإيجابي يعني أن الخط يزداد من اليسار إلى اليمين. الميل السلبي يعني أن الخط ينقص من اليسار إلى اليمين. ميل صفر يعني أن الخط أفقي، وميل غير محدد يعني أن الخط عمودي.

الأخطاء الشائعة

أحد الأخطاء الشائعة التي يرتكبها الطلاب هو خلط إحداثيات x و y. تذكر دائمًا أن الرقم الأول في الزوج المرتب هو إحداثي x، والرقم الثاني هو إحداثي y.

خطأ شائع آخر هو تطبيق صيغة المسافة بشكل خاطئ. تأكد من أنك تربع الاختلافات في إحداثيات x و y قبل جمعها معًا وأخذ الجذر التربيعي.

ممارسة

لنفترض أنك لديك نقطتان، A (1, 2) و B (4, 6). Find المسافة بين A و B، ونقطة الوسط بين A و B، وميل الخط الذي يمر عبر A و B.

أولاً، دعنا نجد المسافة بين A و B باستخدام صيغة المسافة:

$$ d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

ثم، دعنا نجد نقطة الوسط بين A و B باستخدام صيغة نقطة الوسط:

$$ M = \left( \frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 6}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{8}{2} \right) = (2.5, 4) $$

أخيرًا، دعنا نجد ميل الخط الذي يمر عبر A و B باستخدام صيغة الميل:

$$ m = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3} $$

ملخص

في هذه المقال، قد غطينا أساسيات الهندسة الإحداثية، بما في ذلك المستوى الإحداثي، وصيغة المسافة، وصيغة نقطة الوسط، وصيغة الميل. تذكر دائمًا أن تحافظ على تتبع إحداثيات x و y الخاصة بك وأن تطبق الصيغ بعناية.