الفرضيات: لنفترض أن \( a \) و \( b \) عددان زوجيان.

> الهدف: إثبات أن \( a + b \) عدد زوجي.

> البرهان:

> 1. بما أن \( a \) عدد زوجي، فيمكن كتابته على شكل \( a = 2k \)، حيث \( k \) عدد صحيح.

2. وبما أن \( b \) عدد زوجي، فيمكن كتابته على شكل \( b = 2m \)، حيث \( m \) عدد صحيح.

3. إذن، \( a + b = 2k + 2m = 2(k + m) \).

4. بما أن \( k + m \) عدد صحيح، فإن \( a + b \) عدد زوجي.

الفرضيات: نفترض أن \( \sqrt{2} \) عدد نسبي.

> الهدف: إثبات أن هذا الافتراض يؤدي إلى تناقض.

> البرهان:

> 1. إذا كان \( \sqrt{2} \) عددًا نسبيًا، فيمكن كتابته على شكل \( \frac{a}{b} \)، حيث \( a \) و \( b \) عددان صحيحان بدون عوامل مشتركة غير 1.

2. إذن، \( \sqrt{2} = \frac{a}{b} \)، مما يعني أن \( 2 = \frac{a^2}{b^2} \)، أو \( a^2 = 2b^2 \).

3. هذا يعني أن \( a^2 \) عدد زوجي، وبالتالي \( a \) عدد زوجي.

4. إذا كان \( a \) عددًا زوجيًا، فيمكن كتابته على شكل \( a = 2k \).

5. إذن، \( (2k)^2 = 2b^2 \)، أو \( 4k^2 = 2b^2 \)، أو \( 2k^2 = b^2 \).

6. هذا يعني أن \( b^2 \) عدد زوجي، وبالتالي \( b \) عدد زوجي.

7. لكن هذا يتعارض مع افتراضنا أن \( a \) و \( b \) لا يملكان عوامل مشتركة غير 1.

8. إذن، افتراضنا أن \( \sqrt{2} \) عدد نسبي هو افتراض خاطئ.

> - الافتراضات غير المبررة: يجب أن تكون كل خطوة في البرهان مبررة ومنطقية.

- التعميمات غير الصحيحة: لا يمكنك تعميم نتيجة محددة على جميع الحالات دون برهان مناسب.

- الخطوات الناقصة: يجب أن تكون كل خطوة في البرهان واضحة ومفصلة، ولا يمكنك تخطي أي خطوة.

Exercise:

> الفرضيات: لنفترض أن \( a \) و \( b \) عددان فرديان.

> الهدف: إثبات أن \( a + b \) عدد زوجي.

> البرهان:

> 1. بما أن \( a \) عدد فردي، فيمكن كتابته على شكل \( a = 2k + 1 \)، حيث \( k \) عدد صحيح.

2. وبما أن \( b \) عدد فردي، فيمكن كتابته على شكل \( b = 2m + 1 \)، حيث \( m \) عدد صحيح.

3. إذن، \( a + b = (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1) \).

4. بما أن \( k + m + 1 \) عدد صحيح، فإن \( a + b \) عدد زوجي.

Key point: تذكر دائمًا أن كل خطوة في البرهان يجب أن تكون مبررة ومنطقية. لا تخف من التحدي، واستمتع برحلة بناء البراهين الرياضية!